Математика. Сборник задач по углубленному курсу (2015) PDF

От редактора
Предисловие
Часть I. Алгебра
1. Элементы теории чисел
1.1. Целые числа. Делимость и остатки
1.2. Уравнения в целых числах
1.3. Смешанные задачи на целые числа
1.4. Рациональные и иррациональные числа
1.5. Сравнение чисел
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства
2.4. Смешанные задачи
3. Полезные преобразования и замены переменных
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены
4. Нестандартные текстовые задачи
4.1. Не доопределённые задачи
4.2. Неравенства в текстовых задачах
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси
5.3. Смешанные задачи
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства
6.4. Использование графических иллюстраций
7. Метод оценок
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями
8. Задачи на доказательство
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство
8.2. Метод математической индукции
8.3. Доказательство неравенств и тождеств
9. Использование особенностей условия задачи
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия
9.4. Смешанные задачи
Часть II. Геометрия
1. Треугольники
1.1. Прямоугольные треугольники
1.2. Теоремы синусов и косинусов
1.3. Биссектриса, медиана, высота
1.4. Подобие треугольников
1.5. Площадь треугольника
2. Окружности
2.1. Углы в окружностях
2.2. Касательные, хорды, секущие
3. Четырёхугольники и многоугольники
3.1. Параллелограммы
3.2. Трапеции
3.3. Общие четырёхугольники и многоугольники
4. Задачи на доказательство
4.1. Треугольники
4.2. Многоугольники
4.3. Окружности
4.4. Площади
5. Задачи на построение
5.1. Алгебраический метод
5.2. Метод геометрических мест точек
5.3. Метод симметрии и спрямления
5.4. Метод параллельного переноса
5.5. Метод подобия
5.6. Метод поворота и смешанные задачи
6. Стереометрия
6.1. Введение
6.2. Многогранники
6.3. Тела вращения
6.4. Комбинации тел
Ответы
Литература